Question

5．已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=4，若點P是邊BC上的動點，且P到AB，AC距離分別為m，n，則$\frac{4}{m}+\frac{1}{n}$的最小值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，作出△ABC的圖形，分析可得PE=$\frac{1}{2}$PB，PF=$\frac{1}{2}$PC，結(jié)合題意分析可得m+n=2，由此$\frac{4}{m}+\frac{1}{n}$可以變形為$\frac{4}{m}+\frac{1}{n}$=（$\frac{4}{m}+\frac{1}{n}$）（$\frac{m+n}{2}$）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{4n}{m}$+$\frac{m}{n}$），由基本不等式分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，如圖所示，過點P做PE⊥AB，PF⊥AC，
則PE=m，PF=n，
又由AB=AC，∠BAC=120°，則∠ABC=∠ACB=30°，
則PE=$\frac{1}{2}$PB，PF=$\frac{1}{2}$PC，
即m=$\frac{1}{2}$PB，n=$\frac{1}{2}$PC，
又由PB+PC=BC=4，即m+n=2，
則$\frac{4}{m}+\frac{1}{n}$=（$\frac{4}{m}+\frac{1}{n}$）（$\frac{m+n}{2}$）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{4n}{m}$+$\frac{m}{n}$）≥$\frac{9}{2}$，
即$\frac{4}{m}+\frac{1}{n}$的最小值為$\frac{9}{2}$，此時m=2n．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查基本不等式的性質(zhì)，涉及三角形的有關(guān)計算，關(guān)鍵是求出m+n的值．