Question

已知函數(shù)f(x)＝4^x＋m·2^x＋1有且僅有一個零點(diǎn)，求m的取值范圍，并求出該零點(diǎn)．

Answer 1

解析：∵f(x)＝4^x＋m·2^x＋1有且僅有一個零點(diǎn)，

即方程(2^x)²＋m·2^x＋1＝0有且僅有一個實根．

設(shè)2^x＝t(t＞0)，則t²＋mt＋1＝0.

當(dāng)Δ＝0，即m²－4＝0，

∴m＝－2時，t＝1；m＝2時，t＝－1(不符合題意，舍去)．

∴2^x＝1，x＝0符合題意．

當(dāng)Δ＞0，即m＞2，或m＜－2時，t²＋mt＋1＝0有一正一負(fù)根，

即t₁t₂＜0，這與t₁t₂＞0矛盾．

∴這種情況不可能．

綜上，可知m＝－2時，f(x)有唯一零點(diǎn)，該零點(diǎn)為x＝0.