已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對于任意的a,b∈R,滿足f(a•b)=af(b)+bf(a).又已知f(2)=2,an=
f(2n)
n
,bn=
f(2n)
2n
(n∈N*)
,考查下列結(jié)論:①f(0)=0;②f(-1)=-1;③a2是a1,a3的等比中項(xiàng);④b2是b1,b3的等差中項(xiàng).其中正確的是
①③④
①③④
.(填上所有正確命題的序號)
分析:令a=b=0,得f(0)=f(0•0)=0,可知①正確;
令a=b=1,得f(1)=f(1•1)=2f(1),f(1)=0;又令a=b=-1,得f(1)=-f(-1)-f(-1)=2f(-1),
得f(-1)=0,可知②不正確;
由f(2)=2,則f(2n)=f(2•2n-1)=2f(2n-1)+2n-1f(2)=2f(2n-1)+2n,得bn=bn-1+1,{bn}是等差數(shù)列,故④正確;
又b1=1,bn=1+(n-1)×1=n,f(2n)=2nbn=n•2n,則an=2n,數(shù)列{an}是等比數(shù)列,故③正確.
解答:解:∵f(0)=f(0•0)=0•f(0)+0•f(0)=0,∴①正確;
又f(1)=f(1•1)=2f(1),∴f(1)=0;f(1)=f[(-1)•(-1)]=-2f(-1),∴f(-1)=0,故②錯;
又∵f(2)=2,∴f(2n)=f(2•2n-1)=2f(2n-1)+2n-1f(2)=2f(2n-1)+2n,∴bn=
f(2n)
2n
=
2f(2n-1) +2n
2n
=
f(2n-1)
2n-1
+1
即bn=bn-1+1,∴{bn}是等差數(shù)列,故④正確;
又b1=
f(2)
2
=1,∴bn=1+(n-1)×1=n,∴f(2n)=2nbn=n•2n,∴an=2n,∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列,故③正確.
故答案為:①③④
點(diǎn)評:本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用,主要涉及了函數(shù)的賦值法,等差數(shù)列,等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式的計算等知識.
練習(xí)冊系列答案
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f(a)+f(b)
a+b
>0

(1)證明函數(shù)a=1在f(x)=-x2+x+lnx上是增函數(shù);
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1
x-1
)>0,x∈(0,+∞);
(3)若f′(x)=-2x+1+
1
x
=-
2x2-x-1
x
對所有f'(x)=0,任意x=-
1
2
恒成立,求實(shí)數(shù)x=1的取值范圍.

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12
3)
,c=f(0.2-0.6),則a,b,c的大小關(guān)系
a>b>c
a>b>c

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