Question

函數(shù)f(x)=x³-mx²+(m²-4)x，x∈R。
（1）當(dāng)m=3時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)（2，f(2)）處的切線方程；
（2）已知函數(shù)f(x)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，α ，β，且α＜β。若對(duì)任意的x∈[α ，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

Answer 1

解：（1）當(dāng)m=3時(shí)，f(x)=x³-3x²+5x，f ′(x)=x²-6x+5，
因?yàn)閒(2)=，f ′(2)=-3，
所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（2，），切線的斜率為-3．
則所求的切線方程為y-=-3(x-2)，即9x+3y-20=0。
（2）f ′(x)=x²-2mx+(m²-4)，
令f ′(x)=0，得x=m-2或x=m+2，
當(dāng)x∈（-∞，m-2）時(shí)，f ′(x)＞0，f(x)在（-∞，m-2）上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（m-2，m+2）時(shí)，f ′(x)＜0，f(x)在（m-2，m+2）上是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（m+2，+∞）時(shí)，f ′(x)＞0，f(x)在（m+2，+∞）上是增函數(shù)；
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，α ，β，且f(x)=x[x²-3mx+3(m²-4)]，
所以，
解得：m∈(-4，-2)∪(-2，2)∪(2，4)，
當(dāng)m∈(-4，-2)時(shí)，m-2＜m+2＜0，所以α＜m-2＜β＜m+2＜0，
此時(shí)f(α)=0，f(1)＞f(0)=0，與題意不合，故舍去；
當(dāng)m∈(-2，2)時(shí)，m-2＜0＜m+2，所以α＜m-2＜0＜m+2＜β，
因?yàn)閷?duì)任意的x∈[α ，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β，
所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α ，β]上的最小值；
因?yàn)楫?dāng)x=m+2時(shí)，函數(shù)f(x)在[α ，β]上取最小值，所以m+2=1，即m=-1；
當(dāng)m∈(2，4)時(shí)，0＜m-2＜m+2，所以0<α＜m-2＜m+2＜β，
因?yàn)閷?duì)任意的x∈[α ，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β，
所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α ，β]上的最小值，
因?yàn)楫?dāng)x=m+2時(shí)，函數(shù)f(x)在[α ，β]上取最小值，所以m+2=1，即m=-1（舍去），
綜上可知，m的取值范圍是{-1}。