Question

若在所給條件下，數(shù)列{a_n}的每一項的值都能唯一確定，則稱該數(shù)列是“確定的”，在下列各組條件下，有哪些數(shù)列是“確定的”？請把對應的序號填在橫線上

 

．
（注：S_n是{a_n}的前n項和，n∈N^*）
①{a_n}是等差數(shù)列，S₁=2，S₂=3；
②{a_n}是等差數(shù)列，S₁=1，S₅=25；
③{a_n}是等比數(shù)列，S₁=1，S₄=31；
④{a_n}是等比數(shù)列，S₁=2，a₃=2；
⑤{a_n}滿足S_n=2a_n．

Answer 1

分析：通過題目提供的信息，由等差數(shù)列，等比數(shù)列的項和前n項和以及它們的關系求得其通項，即可確定該數(shù)列中的項，從而得到答案．

解答：解：∵①{a_n}是等差數(shù)列，設其公差為d，
又∵S₁=2，S₂=3∴a₂=3-2=1∴d=1-2=-1∴a_n=2-（n-1）=3-n 每一項都是確定的，∴①對
∵②{a_n}是等差數(shù)列，S₁=1，S₅=25∴S₅=

5(a1+a5)

2

=

5(1 +a5)

2

=25∴a₅=9∴4d=9-1=8∴d=2∴a_n=1+2（n-1）=2n-1∴②對
∵③{a_n}是等比數(shù)列，S₁=1，S₄=31 設其公比為q（q≠1），∴S₄=

a1(1-q4)

1-q

=

1× (1-q4)

1-q

=31∴q³+q²+q=30
令y=q³+q²+q，則y′=3q²+2q+1，∵其△=4-12=-8＜0∴y′＞0恒成立∴函數(shù)y=q³+q²+q為單調增函數(shù)，
∴方程q³+q²+q=30有唯一的解，即{a_n}的每一項都是確定的．∴③對．
④{a_n}是等比數(shù)列，S₁=2，a₃=a₁•q²=2∴q²=1∴q=±1∴{a_n}的各項是不確定的∴④不對．
⑤{a_n}滿足S_n=2a_n∴a₁=2a₁∴a₁=0   當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1 ∴a_n=2a_n-1，∴a_n=0．∴⑤對
故答案為：①②③⑤

點評：本題是一道信息給予題，正確把握新概念是解決問題的根本，主要考查了等差，等比關系的確定，是個基礎題．