Question

9．P（$\sqrt{2}$，1）是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$上的一點，且|PF₁|-|PF₂|=2，若拋物線的頂點是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的中心，焦點是雙曲線的右頂點．
（1）求雙曲線的漸近線與拋物線的準線方程；
（2）若直線l過點C（2，1）交拋物線于M，N兩點，是否存在直線l，使得C恰為弦MN的中點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用雙曲線的定義求出a，經(jīng)過的點，求出b，即可求解雙曲線x²-y²=1，利用雙曲線與拋物線的關(guān)系求出拋物線方程．
（2）由于以點C（2，1）為MN中點的直線l斜率必存在，設(shè)為k（k≠0），將l的方程與拋物線的方程y²=4x聯(lián)立，消去x，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用韋達定理求出k，得到直線l的方程．

解答 解：（1）P（$\sqrt{2}$，1）是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$上的一點，且|PF₁|-|PF₂|=2，可得a=1，$\frac{{（\sqrt{2}）}^{2}}{{1}^{2}}-\frac{{1}^{2}}{^{2}}=1$，
解得：b=1，雙曲線x²-y²=1．
拋物線的頂點是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的中心，焦點是雙曲線的右頂點．
可得p=2，
拋物線的標準方程為y²=4x．…（6分）
（2）使得C恰為弦MN的中點的直線存在．理由如下：
由于以點C（2，1）為MN中點的直線l斜率必存在，設(shè)為k（k≠0），則l的方程為：y-1=k（x-2），即y=kx+1-2k．將l的方程與拋物線的方程y²=4x聯(lián)立，消去x得：ky²-4y+4-8k=0①設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁，y₂是方程①的解．
且y₁+y₂=2，又由韋達定理得${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}$，∴$\frac{4}{k}=2$，∴k=2．
經(jīng)驗證k=2時，方程①的△＞0成立，∴直線l的方程為2x-y-3=0．

點評 本題考查雙曲線方程與拋物線方程的求法，直線與圓錐曲線的綜合應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．