9.P($\sqrt{2}$,1)是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$上的一點,且|PF1|-|PF2|=2,若拋物線的頂點是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的中心,焦點是雙曲線的右頂點.
(1)求雙曲線的漸近線與拋物線的準線方程;
(2)若直線l過點C(2,1)交拋物線于M,N兩點,是否存在直線l,使得C恰為弦MN的中點?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

分析 (1)利用雙曲線的定義求出a,經(jīng)過的點,求出b,即可求解雙曲線x2-y2=1,利用雙曲線與拋物線的關(guān)系求出拋物線方程.
(2)由于以點C(2,1)為MN中點的直線l斜率必存在,設(shè)為k(k≠0),將l的方程與拋物線的方程y2=4x聯(lián)立,消去x,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),利用韋達定理求出k,得到直線l的方程.

解答 解:(1)P($\sqrt{2}$,1)是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$上的一點,且|PF1|-|PF2|=2,可得a=1,$\frac{{(\sqrt{2})}^{2}}{{1}^{2}}-\frac{{1}^{2}}{^{2}}=1$,
解得:b=1,雙曲線x2-y2=1.
拋物線的頂點是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的中心,焦點是雙曲線的右頂點.
可得p=2,
拋物線的標準方程為y2=4x.…(6分)
(2)使得C恰為弦MN的中點的直線存在.理由如下:
由于以點C(2,1)為MN中點的直線l斜率必存在,設(shè)為k(k≠0),則l的方程為:y-1=k(x-2),即y=kx+1-2k.將l的方程與拋物線的方程y2=4x聯(lián)立,消去x得:ky2-4y+4-8k=0①設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則y1,y2是方程①的解.
且y1+y2=2,又由韋達定理得${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}$,∴$\frac{4}{k}=2$,∴k=2.
經(jīng)驗證k=2時,方程①的△>0成立,∴直線l的方程為2x-y-3=0.

點評 本題考查雙曲線方程與拋物線方程的求法,直線與圓錐曲線的綜合應用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

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