Question

已知數列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n項和S_n滿足S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數列{a_n}為等差數列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=2ⁿ-a_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：由已知：（s_n+1-s_n）-（s_n-s_n-1）=1 （n≥2，n∈N^*），
即a_n+1-a_n=1 （n≥2，n∈N^*）且a₂-a₁=1．
∴數列{a_n}是以a₁=2為首項，公差為1的等差數列．
∴a_n=n+1．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=（n+1）•2ⁿ，它的前n項和為T_n
T_n=2•2¹+3•2²+4•2³++n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ（1）
2T_n=2•2²+3•2³+4•2⁴++n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹（2）
（1）-（2）：
-T_n=2•2¹+2²+2³+2⁴++2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=
=-n•2ⁿ⁺¹
∴T_n=n•2ⁿ⁺¹（13分）
分析：（Ⅰ）把S_n+1+S_n-1=2S_n+1整理為：（s_n+1-s_n）-（s_n-s_n-1）=1，即a_n+1-a_n=1 即可說明數列{a_n}為等差數列；再結合其首項和公差即可求出{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）因為數列{b_n}的通項公式為一等差數列乘一等比數列組合而成的新數列，故直接利用錯位相減法求和即可．
點評：本題主要考查等差關系的確定以及利用錯位相減法求數列的和．錯位相減法適用于一等差數列乘一等比數列組合而成的新數列．