Question

已知某商品的生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q滿足的函數(shù)關(guān)系為C=100+4q，價(jià)格p與產(chǎn)量q滿足p=25-q．
（1）求利潤(rùn)L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)關(guān)系式；
（2）求當(dāng)產(chǎn)量為100時(shí)的利潤(rùn)值；
（3）求利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量q．

Answer 1

【答案】分析：（1）收入R=p•q=，利潤(rùn)，由此能求出利潤(rùn)L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)q=100時(shí)，把q=100代入利潤(rùn)L的函數(shù)關(guān)系式就能求出相應(yīng)的利潤(rùn)值．
（3）法一：，令L′=0，得q=84．由此進(jìn)行討論能求出L取最大值的產(chǎn)量q．
法二：，圖象開口向下，對(duì)稱軸為q=-=84，由此能求出L取最大值的產(chǎn)量q．
解答：解：（1）收入R=p•q=，
利潤(rùn)
=-．
（2）當(dāng)q=100時(shí)，．
答：產(chǎn)量為100時(shí)，利潤(rùn)值為750．
（3）解法一：，
令L′=0，得q=84．
∵0＜q＜84時(shí)，L‘＞0，84＜q＜200時(shí)，L‘＜0，
∴當(dāng)q=84時(shí)，L取得最大值．
解法二：，
圖象開口向下，對(duì)稱軸為q=-=84，
且84∈（0，200），
∴q=84時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)的最高點(diǎn)，即L取得最大值．
答：產(chǎn)量為84時(shí)，利潤(rùn)最大．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要導(dǎo)數(shù)和拋物線性質(zhì)的靈活運(yùn)用．本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．