精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左頂點，右焦點分別為A、F，右準線為m．圓D：x2+y2+x-3y-2=0．
（1）若圓D過A、F兩點，求橢圓C的方程；
（2）若直線m上不存在點Q，使△AFQ為等腰三角形，求橢圓離心率的取值范圍．
（3）在（1）的條件下，若直線m與x軸的交點為K，將直線l繞K順時針旋轉(zhuǎn)
π
4
得直線l，動點P在直線l上，過P作圓D的兩條切線，切點分別為M、N，求弦長MN的最小值．
分析：（1）根據(jù)已知圓求出與x軸交點坐標，然后求出b，寫出橢圓方程．
（2）設(shè)出直線m與x軸的交點，根據(jù)題意FQ≥FA，化簡即可．
（3）根據(jù)已知圓求出圓心半徑，再根據(jù)PM⊥MD，求出最值．
解答：解：（1）圓x2+y2+x-3y-2=0與x軸交點坐標為，A（-2，0），F(xiàn)（1，0），
故a=2，c=1，
所以b=
3
，
橢圓方程是：
x2
4
+
y2
3
=1
（2）設(shè)直線m與x軸的交點是Q，
依題意FQ≥FA，
即
a2
c
-c≥a+c，
a2
c
≥a+2c，
a
c
≥1+2
c
a
，
1
e
≥1+2e，
2e2+e-1≤0，0＜e≤
1
2
．
（3）直線l的方程是x-y-4=0，
圓D的圓心是(-
1
2
，
3
2
)，半徑是
3
2
2
，
設(shè)MN與PD相交于H，則H是MN的中點，
且PM⊥MD，
MN=2NH=2•
MD•MP
PD
=2•
MD•
PD2-MD2
PD
=2MD•
1-
MD2
PD2

當且僅當PD最小時，MN有最小值，
PD最小值即是點D到直線l的距離是
d=
|-
1
2
-
3
2
-4|
2
=
6
2
，
所以MN的最小值是2×
3
2
2
×
1-
9
2
36
2
=
3
6
2
．
點評：本題考查圓錐曲線知識的綜合運用，以及橢圓的標準方程，涉及對知識的靈活運用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點和上頂點分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比．
（1）已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1和C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判斷C2與C1是否相似，如果相似則求出C2與C1的相似比，若不相似請說明理由；
（2）已知直線l：y=x+1，在橢圓Cb上是否存在兩點M、N關(guān)于直線l對稱，若存在，則求出函數(shù)f（b）=|MN|的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
，過橢圓C上一點P（2，1）作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓交于點A、B，直線AB與x軸交于點M，與y軸負半軸交于點N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
36
+
y2
20
=1的左頂點，右焦點分別為A，F(xiàn)，右準線為l，N為l上一點，且在x軸上方，AN與橢圓交于點M．
（1）若AM=MN，求證：AM⊥MF；
（2）過A，F(xiàn)，N三點的圓與y軸交于P，Q兩點，求PQ的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點M與點N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求
TM
•
TN
的最小值，并求此時圓T的方程；
（3）設(shè)點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點，求證：|OR|•|OS|為定值．

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