Question

如圖，正三棱柱ABC-A′B′C′中，．
（1）求證：A′C⊥BC′；
（2）請?jiān)诰�段CC′上確定一點(diǎn)P，使直線A′P與平面A′BC所成角的正弦等于．

Answer 1

證明：（1）由題意，取B′C′的中點(diǎn)E，以BC中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OE，OA分別為x，y，z軸．
則
∴
∴
∴A′C⊥BC′；
（2）設(shè)P（1，a，0），則
設(shè)平面A′BC的法向量為
∵，∴
∴
∴
即．
分析：（1）取B′C′的中點(diǎn)E，以BC中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OE，OA分別為x，y，z軸．用坐標(biāo)表示向量，利用數(shù)量積為0得證；
（2）設(shè)P（1，a，0），則，再設(shè)平面A′BC的法向量，進(jìn)而可用夾角公式可求．
點(diǎn)評：本題以正三棱柱為載體，考查線線垂直，考查線面角，關(guān)鍵是構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解．