Question

已知圓C的圓心坐標(biāo)（1，1），直線(xiàn)l：x+y=1被圓C截得弦長(zhǎng)為

2

，
（1）求圓C的方程；
（II）從圓C外一點(diǎn)p（2，3）向圓引切線(xiàn)，求切線(xiàn)方程．

Answer 1

分析：（I）設(shè)圓C的半徑為r，根據(jù)圓心坐標(biāo)寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心到直線(xiàn)l的距離即為弦心距，然后根據(jù)垂徑定理得到其垂足為弦的中點(diǎn)，由弦長(zhǎng)的一半，圓心距及半徑構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于r的方程，求出方程的解即可得到r的值，從而確定圓C的方程；
（II）當(dāng)切線(xiàn)方程的斜率不存在時(shí)，顯然得到x=2為圓的切線(xiàn)；當(dāng)切線(xiàn)方程的斜率存在時(shí)，設(shè)出切線(xiàn)的斜率為k，由P的坐標(biāo)和k寫(xiě)出切線(xiàn)方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心到所設(shè)直線(xiàn)的距離d，根據(jù)直線(xiàn)與圓相切，得到d等于圓的半徑，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，從而確定出切線(xiàn)的方程，綜上，得到所求圓的兩條切線(xiàn)方程．

解答：解：（I）設(shè)圓的方程為：（x-1）²+（y-1）²=r²
因?yàn)閳A心C到直線(xiàn)l的距離：d=

|1+1-1|

2

=

2

2

，（2分）
所以：r²=(

2

2

)2+(

2

2

)2=1，即r=1，
圓的方程為：（x-1）²+（y-1）²=1；（5分）
（II）當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，顯然x=2為圓的一條切線(xiàn)；（7分）
當(dāng)切線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)的斜率為k，
則切線(xiàn)方程為y-3=k（x-2），即：kx-y-2k+3=0
由

|k-2|

1+k2

=1，解得k=

3

4

，（10分）
所以切線(xiàn)方程為y-3=

3

4

（x-2），即3x-4y+6=0
綜上：所求的切線(xiàn)方程為x=2和3x-4y=6=0．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，以及直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)．要求學(xué)生掌握垂徑定理，勾股定理及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，理解直線(xiàn)與圓相切時(shí)圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑．