Question

如圖，設(shè)拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)F₁，焦點(diǎn)為F₂；以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，離心率為的橢圓C₂與拋物線C₁在x軸上方的交點(diǎn)為P，延長(zhǎng)PF₂交拋物線于點(diǎn)Q，M是拋物線C₁上一動(dòng)點(diǎn)，且M在P與Q之間運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)m=3時(shí)，求橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若|PF₂|=5且P點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求面積△MPQ的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）：當(dāng)m=3時(shí)，y²=12x，可設(shè)橢圓方程為 =1（a＞b＞0），結(jié)合已知可求c及e==，可求a，再由b²=a²-c²可求b，進(jìn)而可求橢圓方程
（2）由及|PF₂|=可求m，此時(shí)拋物線方程為y²=12x，F(xiàn)₂（3，0），P（2，2），從而可求直線PQ的方程，聯(lián)立 ，可求Q（，-3），及PQ，設(shè)點(diǎn)M（）到直線PQ的距離為d，由題意可知，由點(diǎn)到直線的距離公式可得d==||，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求d的最大，代入可求MPQ面積的最大值
解答：解：（1）：當(dāng)m=3時(shí)，y²=12x，F(xiàn)₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）…（1分）
設(shè)橢圓方程為 =1（a＞b＞0），則c=3，又e==，所以a=6，b²=27
所以橢圓C₂方程為（4分）
（2）∵
∴|PF₂|=
又|PF₂|=5∴m=3
此時(shí)拋物線方程為y²=12x，F(xiàn)₂（3，0），x_p=2…（6分）
又P在x軸上方，P（2，2）
∴直線PQ的斜率為：
∴直線PQ的方程為：y=-2（x-3）…（8分）
聯(lián)立 ，得2x²-13x+18=0
∵直線PQ的斜率為，由圖知x＞2
所以代入拋物線方程得，即Q（，-3）
PQ==
∵2x²-13x+18=0
∴
=
==…（11分）
設(shè)點(diǎn)M（）到直線PQ的距離為d，
∵M(jìn)在P與Q之間運(yùn)動(dòng)，∴
d==||
當(dāng)t=-，d_max=   …（14分）
即MPQ面積的最大值為      …（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．本題主要考查運(yùn)算，整個(gè)題目的解答過程看起來(lái)非常繁瑣，注意運(yùn)算．