Question

對于函數(shù)f（x），若命題“?x₀∈R，f（x₀）≠x₀”的否定為真命題，則稱x₀為函數(shù)f（x）的不動點
（1）若函數(shù)f（x）=x²-mx+4有兩個相異的不動點，求實數(shù)m的取值集合M；
（2）設(shè)不等式（x-a）（x-a-2）＞0的解集為N，若“x∈N”是“x∈M”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,特稱命題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,集合,簡易邏輯

分析：（1）函數(shù)f（x）=x²-mx+4總有兩個相異的不動點，則方程x²-mx+4=x有兩個相異的實根，再利用判別式，解不等式即可得到m的范圍．
（2）先求出N，再根據(jù)“x∈N”是“x∈M”的充分不必要條件，得到

a＞-5 a+2＜3

，解得即可

解答： 解：（1）“?x₀∈R，f（x₀）≠x₀”的否定為真命題，
∴f（x₀）=x₀，稱x₀為函數(shù)f（x）的不動點
∵函數(shù)f（x）=x²-mx+4有兩個相異的不動點
∴x²-mx+4=x，即x²-（m+1）x+4=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△=（m+1）²-4×4＞0，解得m＜-5，或m＞3，
故實數(shù)m的取值集合M=（-∞，-5）∪（3，+∞），
（2）∵不等式（x-a）（x-a-2）＞0的解集為N，
∴N=（-∞，a）∪（a+2，+∞），
∵x∈N”是“x∈M”的充分不必要條件，
∴

a＞-5 a+2＜3

，
解得-5＜a＜1，
故實數(shù)a的取值范圍是（-5，1）

點評：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運用，以及恒成立問題的處理以及命題條件，屬于中檔題