在直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，已知向量
OA
=（1，5），
OB
=（7，1），
OM
=（1，2），P為滿足條件
OP
=t
OM
（t∈R）的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)
PA
•
PB
取得最小值時(shí)，求：（1）向量
OP
的坐標(biāo)；（2）cos∠APB的值．
分析：（1）由題意知
OM
與
OP
共線，由向量共線定理可得?λ∈[0，1]使得
OP
=
λOM
=(λ，2λ)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得f（λ）=5λ2-20λ+12，λ∈[0，1]結(jié)合二次函數(shù)在區(qū)間[0，1]的單調(diào)性可求函數(shù)的最小值及P的坐標(biāo)；
（2）代入向量夾角公式cos ∠APB=
PA
•
PB
|
PA
|
|PB
|
求值
解答：解：（1）由題意，可設(shè)
OP
=(λ，2λ)，其中λ∈[0，1]，
則
PA
=(1-λ，5-2λ)，
PB
=(7-λ，1-2λ)
設(shè) f(λ)=
PA
•
PB
，則f（λ）=（1-λ）（7-λ）+（5-2λ）（1-2λ）
=5λ2-20λ+12，λ∈[0，1]
又f（λ）在[0，1]上單調(diào)遞減
∴當(dāng)λ=1時(shí)f（λ）取得最小值，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）
OP
=(1，2)
（2）
PA
=(0，3)，
PB
=(6，-1)
∴cos∠APB=
PA
•
PB
|
PA
||
PB
|
=
-3
3
37
=-
37
37
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量共線定理，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，二次函數(shù)的單調(diào)性及最值的求解，向量夾角的坐標(biāo)表示．熟練掌握向量的基礎(chǔ)知識(shí)并能靈活運(yùn)用是解決問題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)平面xOy上的一列點(diǎn)A1（1，a1），?A2（2，a2），?…，?An（n，an），?…，簡(jiǎn)記為{An}、若由bn=
AnAn+1
•
j
構(gòu)成的數(shù)列{bn}滿足bn+1＞bn，n=1，2，…，其中
j
為方向與y軸正方向相同的單位向量，則稱{An}為T點(diǎn)列，
（1）判斷A1( 1，  1)，?A2( 2，  
1
2
)，?A3( 3，  
1
3
)，?…，?An( n， 
1
n
 )，?…，是否為T點(diǎn)列，并說明理由；
（2）若{An}為T點(diǎn)列，且點(diǎn)A2在點(diǎn)A1的右上方、任取其中連續(xù)三點(diǎn)Ak、Ak+1、Ak+2，判斷△AkAk+1Ak+2的形狀（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形），并予以證明；
（3）若{An}為T點(diǎn)列，正整數(shù)1≤m＜n＜p＜q滿足m+q=n+p，求證：
AnAq
•
j
＞
AmAp
•
j
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)平面XOY上的一列點(diǎn)A1（1，a1），A2（2，a2），A3（3，a3），…An（n，an），…簡(jiǎn)記為{An}，若由bn=
AnAn+1
•
j
構(gòu)成的數(shù)列{bn}滿足bn+1＞bn，（n=1，2，…，n∈N） （其中
j
是與y軸正方向相同的單位向量），則稱{An}為“和諧點(diǎn)列”．
（1）試判斷：A1（1，1），A2(2，
1
2
)，A3(3，
1
22
)…An(n，
1
2n-1
)…是否為“和諧點(diǎn)列”？并說明理由．
（2）若{An}為“和諧點(diǎn)列”，正整數(shù)m，n，p，q滿足：≤m＜n＜p＜q1，且m+q=n+p．求證：aq+am＞an+ap．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)平面xoy上 的一列點(diǎn)A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an），…，簡(jiǎn)記為{An}．若由bn=
AnAn+1
•
j
構(gòu)成的數(shù)列{bn}滿足bn+1＞bn（其中
j
是y軸正方向同向的單位向量），則稱{An}為T點(diǎn)列．
（1）判斷A1(1，1)，A2(2，
1
2
)，A3(3，
1
3
)…，An(n，
1
n
)，…是否為T點(diǎn)列；
（2）若{an}是等差數(shù)列，判斷點(diǎn)列A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an），…是否為T點(diǎn)列，并說明理由；
若{an}是等比數(shù)列，判斷點(diǎn)列A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an），…是否為T點(diǎn)列，并說明理由；
（3）若{An}為T點(diǎn)列，且點(diǎn)A2在點(diǎn)A1的右上方，任取其中連續(xù)三點(diǎn)AK，AK+1，AK+2，判斷△AKAK+1AK+2的形狀（銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形），并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•閔行區(qū)三模）規(guī)定：直線l到點(diǎn)F的距離即為點(diǎn)F到直線l的距離，在直角坐標(biāo)平面xoy中，已知兩定點(diǎn)F1（-1，0）與F2（1，0）位于動(dòng)直線l：ax+by+c=0的同側(cè)，設(shè)集合P={l|點(diǎn)F1與點(diǎn)F2到直線l的距離之和等于2}，Q={（x，y）|（x，y）∉l，l∈P}．則由Q中的所有點(diǎn)所組成的圖形的面積是
π
π
．

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