Question

（2011•武昌區(qū)模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，BC=2AB=2PA．點M在側(cè)棱PC上，且CM=2MP．
（I）求直線AM與平面PCD所成角的正弦值；
（II）求二面角B-PC-D的大�。�

Answer 1

分析：（1）要求直線AM與平面PCD所成角的正弦值則根據(jù)線面角的定義可知需過A向面PCD作垂線找到AM在面PCD上的射影則其與射影的夾角即為直線AM與平面PCD所成的角而根據(jù)四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD可得CD⊥面PAD因此只需過A作AN⊥PD于N，連接MN可得AN⊥面PCD即∠AMN為直線AM與平面PCD所成的角然后再解RT△PAD求出∠AMN的正弦值即可．
（2）可過B作BE⊥平面PCD于E，過點B作BF⊥PC于F，連接EF，則根據(jù)三垂線定理可得EF⊥PC則根據(jù)二面角的定義再結(jié)合圖形的特征可知∠BFE為二面角B-PC-D的平面角的補角然后在解三角形BFE求出∠BFE即可得解．

解答：（本小題滿分12分）
解：設(shè)BC=2AB=2PA=2．
（Ⅰ）過A作AN⊥PD于N，連接MN．
∵側(cè)棱PA⊥面ABCD，
∴PA⊥CD．
又∵CD⊥AD，
∴CD⊥面PAD．
∴CD⊥AN．
∴AN⊥面PCD．
則∠AMN為直線AM與平面PCD所成的角． …（3分）
在△PAM中，AM=

PA2+PM2-2PA•PM•cos∠APM

=1．
在RT△PAD中，求得AN=

2

5

．∴sin∠AMN=

AN

AM

=

2 5

5

．…（6分）
（Ⅱ）過B作BE⊥平面PCD于E，過點B作BF⊥PC于F．
連接EF，則EF⊥PC．
∴∠BFE為二面角B-PC-D的平面角的補角． …（8分）
在RT△PBC中，求得BF=

2

3

．
由V_P-BCD=V_D-PAC，得

1

3

•

1

2

•1•

5

•BE=

1

3

•

1

2

•2•1•1，
解得BE=

2

5

．…（10分）
在RT△AEF中，求得sin∠BFE=

BE

BF

=

15

5

．
所以所求二面角的大小為π-arcsin

15

5

．…（12分）

點評：本題主要考察了線面角和二面角的求解，屬�？碱}，較難．解題的關(guān)鍵是要熟記線面角和二面角的定義因為它是正確做出線面角和二面角的依據(jù)這不僅需要對立體幾何中常用的判定定理和性質(zhì)定理透徹理解而且要掌握一些解題技巧（比如本題第二問利用V_P-BCD=V_D-PAC求出BE的長度）這需要在做題中慢慢理解和積累！