Question

7．已知α∈（0，π），tan（$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，則sin（$\frac{π}{4}+α$）=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 由已知利用兩角差的正切函數(shù)公式可求tanα的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα，sinα的值，進(jìn)而利用兩角和的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解．

解答 解：∵α∈（0，π），tan（$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα-1}{1+tanα}$=$\frac{1}{3}$，解得：tanα=2，
∴可得：α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cosα=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin（$\frac{π}{4}+α$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{5}}{5}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角差的正切函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．