Question

如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn).現(xiàn)將沿線段翻折到（點(diǎn)與點(diǎn)重合），使得平面平面，連接，.

(Ⅰ)證明：平面；

(Ⅱ)若，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求二面角的大小.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)連接，交于點(diǎn),在四邊形中，

證得，推出,從而，得到平面。

(Ⅱ)二面角的大小為.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)連接，交于點(diǎn),在四邊形中，

∵，

∴，∴,

∴

又∵平面平面，且平面平面=

∴平面      ……… 6分

(Ⅱ)如圖，以為原點(diǎn)，直線，分別為軸，軸，平面內(nèi)過(guò)且垂直于直線的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，可設(shè)點(diǎn)

又，，，，且由，有

，解得，∴      ８分

則有，設(shè)平面的法向量為，

由，即，故可取            １０分

又易取得平面的法向量為，并設(shè)二面角的大小為，

∴，∴ 

∴二面角的大小為.     １２分

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系，角的計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離的計(jì)算。證明過(guò)程中，往往需要將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面幾何問(wèn)題加以解答。本題解答，通過(guò)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，簡(jiǎn)化了繁瑣的證明過(guò)程，實(shí)現(xiàn)了“以算代證”，對(duì)計(jì)算能力要求較高。