Question

（2013•萊蕪二模）已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA1=

3

，點D為AC的中點，點E在線段AA₁上
（I）當AE：EA₁=1：2時，求證DE⊥BC₁；
（Ⅱ）是否存在點E，使二面角D-BE-A等于60°若存在求AE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由D為正三角形ABC的中點，得到BD⊥AC，再由兩面垂直的性質得到BD⊥面ACC₁A₁，繼而BD⊥DE，在平面ACC₁A₁中利用解三角形求出∠ADE與∠CDC₁的值，從而得到ED⊥DC₁，則由ED⊥面BDC₁，則DE⊥BC₁；
（Ⅱ）假設存在點E，使二面角D-BE-A等于60°，設出AE的長度，利用二面角的兩個半平面的法向量所成角為60°求出h的值，若h的值在[0，

3

]內則說明點E存在，否則不存在．

解答：解：（Ⅰ）證明：如圖，

連結DC₁，因為ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，所以△ABC為正三角形，
又因為D為AC的中點，所以BD⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，所以BD⊥平面ACC₁A₁，所以BD⊥DE．
因為AE：EA₁=1：2，AB=1，AA1=

3

，所以AE=

3

3

，AD=1，
所以在Rt△ADE中，∠ADE=30°，在Rt△DCC₁中，∠C1DC=60°，
所以∠EDC1=90°，即ED⊥DC₁，
所以ED⊥平面BDC₁，又BC₁?面BDC₁，所以ED⊥BC₁．
（Ⅱ）解：存在點E，使二面角D-BE-A等于60°．
事實上，假設存在點E滿足條件，設AE=h．
取A₁C₁的中點D₁，連結DD₁，則DD_1⊥平面ABC，所以DD₁⊥AD，DD₁⊥BD，
分別以DA、DB、DD₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系D-xyz，
則A（1，0，0），B（0，

3

，0），E（1，0，h），
所以

DB

=(0，

3

，0)，

DE

=(1，0，h)，

AB

=(-1，

3

，0)，

AE

=(0，0，h)．
設平面DBE的一個法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，
則

n1 • DB =0 n1 • DE =0

，

3 y1=0 x1+hz1=0

，令z₁=1，得x₁=-h，所以

n1

=(-h，0，1)，
再設平面ABE的一個法向量為

n2

=(x2，y2，z2)，
則

n2 • AB =0 n2 • AE =0

，

-x2+ 3 y2=0 hz2=0

，令y₂=1，得x2=

3

，所以

n2

=(

3

，1，0)．
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

|- 3 h|

h2+1 •2

=cos60°=

1

2

．解得h=

2

2

＜

3

．
故存在點E，當AE=

2

2

時，二面角D-BE-A等于60°．

點評：本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，訓練了存在性問題的求解方法，對于存在性問題，在假設結論成立的前提下進行推理，得到與已知的條件，公理、定理等相符的式子，則假設成立，否則不成立．此題是中檔題．