已知向量
a
=(x2,x+1),
b
=(1-x,t),若函數(shù)f(x)=
a
b
在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù),求t的取值范圍.
分析:本題可以先用數(shù)量積的運算計算出f(x),在對f(x)丟導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為f'(x)在區(qū)間(-1,1)上恒成立,進(jìn)而解決.
解答:解法1:依定義f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,則f′(x)=-3x2+2x+t.
若f(x)在(-1,1)上是增函數(shù),則在(-1,1)上f'(x)≥0恒成立.
∴f′(x)≥0?t≥3x2-2x,在區(qū)間(-1,1)上恒成立,
考慮函數(shù)g(x)=3x2-2x,由于g(x)的圖象是對稱軸為x=
1
3
,開口向上的拋物線,
故要使t≥3x2-2x在區(qū)間(-1,1)上恒成立?t≥g(-1),即t≥5.
而當(dāng)t≥5時,f′(x)在(-1,1)上滿足f′(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函數(shù);
故t的取值范圍是t≥5.
點評:導(dǎo)數(shù)是判斷函數(shù)的單調(diào)性或者解決單調(diào)性的逆向問題很好的工具,另外注意分離參數(shù)來求參數(shù)的范圍是解決這類題型比較常用的方法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(ex+
x
2
,-x)
,
b
=(1,t)
,若函數(shù)f(x)=
a
b
在區(qū)間(-1,1)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則t的取值范圍是
(-∞,e+
1
2
(-∞,e+
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(x2-1,-1),
b
=(x,y),當(dāng)|x|<
2
時,有
a
b
;當(dāng)|x|≥
2
時,
a
b

(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(3)若對|x|≥
2
,都有f(x)≤m,求實數(shù)m的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(sin(
x
2
+
π
12
),  cos
x
2
)
b
=(cos(
x
2
+
π
12
),  -cos
x
2
)
,x∈[
π
2
,  π]
,函數(shù)f(x)=
a
b

(1)若cosx=-
3
5
,求函數(shù)f(x)的值;
(2)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對稱,且x0∈(-2,-1),求x0的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•東城區(qū)模擬)已知向量
a
=(x2,x+1),
b
=(1-x,t),若函數(shù)f(x)=
a
b
在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù),則實數(shù)t的取值范圍是( 。

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