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設a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），討論F（x）在（0.＋∞）內的單調性并求極值；

（Ⅱ）求證：當x>1時，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.

本小題主要考查函數導數的概念與計算，利用導數研究函數的單調性、極值和證明不等式的方法，考查綜合運用有關知識解決問題的能力

（Ⅰ）解：根據求導法則有，

故，

于是，

列表如下：

2

0

極小值

故知在內是減函數，在內是增函數，所以，在處取得極小值．

（Ⅱ）證明：由知，的極小值．

于是由上表知，對一切，恒有．

從而當時，恒有，故在內單調增加．

所以當時，，即．

故當時，恒有．

練習冊系列答案
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設a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），討論F（x）在（0.＋∞）內的單調性并求極值；

（Ⅱ）求證：當x>1時，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.

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（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），討論F（x）在（0.＋∞）內的單調性并求極值；

（Ⅱ）求證：當x>1時，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.

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設a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），討論F（x）在（0.＋）內的單調性并求極值；

（Ⅱ）求證：當x>1時，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.

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設a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.

（1）令F（x）＝xf＇（x），討論F（x）在（0.＋∞）內的單調性并求極值；

（2）求證：當x>1時，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.

 

 

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(本小題滿分14分)

設a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），討論F（x）在（0.＋∞）內的單調性并求極值；

（Ⅱ）求證：當x>1時，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.

 

 

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