Question

已知向量

a

，

b

，

c

滿足|

a

|=|

b

|=3，

a

•

b

=

9

2

，若

a

-

c

與

c

-

b

的夾角為60°，則|

c

|的最大值為

2

3

．

Answer 1

分析：因為向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=3，

a

•

b

=

9

2

，所以可得兩向量的夾角為60°，在平面內(nèi)作出向量

OA

，

OB

，
使|

OA

|=|

OB

|=3，且兩向量的夾角為60°，作出向量

OC

=

c

，由向量減法的幾何意義得向量

a

-

c

與

c

-

b

，
再由

a

-

c

與

c

-

b

的夾角為60°，可得對應(yīng)的O、A、C、B四點共圓，從而可知|

c

|的最大值為O、A、C、B四點共圓的圓的直徑2R．然后運用正弦定理可求三角形ABC的外接圓的半徑2R的值．

解答：解：如圖，
設(shè)

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，
由

a

•

b

=|

a

||

b

|cos＜

a

，

b

＞，
得：3×3×cos＜

a

，

b

＞=

9

2

，所以cos＜

a

，

b

＞=

1

2

，
所以∠AOB=60°．
又

a

-

c

=

OA

-

OC

=

CA

，

c

-

b

=

OC

-

OB

=

BC

，
由

a

-

c

與

c

-

b

的夾角為60°，得

CA

與

BC

的夾角為60°，則∠BCA=120°，
因為∠AOB+∠BCA=60°+120°=180°，
所以O(shè)、A、C、B四點共圓．
所以|

c

|的最大值為O、A、C、B四點共圓的圓的直徑2R．
在三角形OAB中，因為|

OA

|=|

OB

|=3，∠AOB=60°，所以|AB|=3，
所以2R=

|AB|

sin60°

=

3

3 2

=2

3

．
所以，|

c

|的最大值為2

3

．
故答案為2

3

．

點評：本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想，解答此題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)給出的向量夾角間的關(guān)系，分析得到三個向量

a

，

b

，

c

對應(yīng)的向量

OA

，

OB

，

OC

的起點和終點四點共圓，從而得到|

c

|的最大值為O、A、C、B四點共圓的圓的直徑2R．此題是中檔題．