Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=1-a_n，公差為3的等差數(shù)列{b_n}滿足b₂是b₁與b₆的等比中項(xiàng)．
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）令c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

（I）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=1-a_n，∴n≥2時(shí)，S_n-1=1-a_n-1，
∴兩式相減可得a_n=a_n-1-a_n，∴

an

an-1

=

1

2

（n≥2）
∵n=1時(shí)，S₁=1-a₁，∴a₁=

1

2

∴數(shù)列{a_n}是以

1

2

為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列
∴a_n=(

1

2

)n；
∵公差為3的等差數(shù)列{b_n}滿足b₂是b₁與b₆的等比中項(xiàng)
∴（b₁+3）²=b₁•（b₁+15）
∴b₁=1
∴b_n=1+3（n-1）=3n-2
（II）c_n=a_nb_n=（3n-2）•(

1

2

)n
∴T_n=1•

1

2

+4•(

1

2

)2+…+（3n-2）•(

1

2

)n
∴

1

2

T_n=1•(

1

2

)2+4•(

1

2

)3+…+（3n-5）•(

1

2

)n+（3n-2）•(

1

2

)n+1
兩式相減可得

1

2

T_n=1•

1

2

+3•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+…+3•(

1

2

)n-（3n-2）•(

1

2

)n+1=2-（3n+4）•(

1

2

)n+1
∴T_n=4-（6n+8）•(

1

2

)n+1．