Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長為1，高為2，一直徑為1的球O恰與底面ABCD及四個側(cè)面都相切，直線AC₁與球O交于MN兩點，則MN的長為

6

3

．

Answer 1

分析：由題意畫出幾何體的圖形，找出球心O到線AC₁的距離，以及利用球的半徑、弦長滿足勾股定理，即可求出MN的長．

解答：解：如圖，由題意可知球心O在上下底面的中心連線上，球的半徑為：

1

2

，F(xiàn)是AC₁與上下底面的中心連線的交點，
所以O(shè)F=

1

2

，OE是球心到直線AC₁的距離，OE=

1

2

×

2 2 × 1

1 2 × ( 2 )2+22

=

3

6

，
所以MN=2×

( 1 2 )2-( 3 6 )2

=

6

3

．
故答案為：

6

3

．

點評：本題是中檔題，考查幾何體的內(nèi)切球的知識，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，難度較大，易錯題．