Question

9．定義在（0，+∞）上的單調(diào)減函數(shù)f（x），若f（x）的導(dǎo)函數(shù)存在且滿足$\frac{f（x）}{{{f^'}（x）}}$＞x，則下列不等式成立的是（　　）

• A． 3f（2）＜2f（3）
• B． 2f（3）＜3f（2）
• C． 3f（4）＜4f（3）
• D． 2f（3）＜3f（4）

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可．

解答 解：∵定義在（0，+∞）上的單調(diào)減函數(shù)f（x），
∴f′（x）＜0，則不等式$\frac{f（x）}{{{f^'}（x）}}$＞x，等價(jià)為f（x）＜xf′（x），
即xf′（x）-f（x）＞0，
設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
則g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0，
即函數(shù)g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
則g（3）＜g（4），g（2）＜g（3），
即$\frac{f（3）}{3}$＜$\frac{f（4）}{4}$，$\frac{f（2）}{2}$＜$\frac{f（3）}{3}$
即4f（3）＜3f（4），3f（2）＜2f（3），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷是解決本題的關(guān)鍵．