定義:由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.如果兩個(gè)橢圓的“特征三角形”是相似的,則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比.已知橢圓
(1)若橢圓,判斷C2與C1是否相似?如果相似,求出C2與C1的相似比;如果不相似,請(qǐng)說明理由;
(2)寫出與橢圓C1相似且短半軸長(zhǎng)為b的橢圓Cb的方程;若在橢圓Cb上存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱,求實(shí)數(shù)b的取值范圍?
(3)如圖:直線y=x與兩個(gè)“相似橢圓”分別交于點(diǎn)A,B和點(diǎn)C,D,試在橢圓M和橢圓Mλ上分別作出點(diǎn)E和點(diǎn)F(非橢圓頂點(diǎn)),使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個(gè)相似三角形,寫出具體作法.(不必證明)

【答案】分析:(1)分別求出特征三角形是腰長(zhǎng)為a 和底邊長(zhǎng)為2c,從而得到橢圓的相似比.
(2)設(shè)出橢圓Cb的方程,直線lMN的方程,根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的性質(zhì),求出直線lMN的方程,根據(jù)直線lMN與橢圓Cb有兩個(gè)不同的交點(diǎn),判別式大于零,求得實(shí)數(shù)b的取值范圍.
(3)作法:過原點(diǎn)作直線y=kx(k≠1),交橢圓M和橢圓Mλ于點(diǎn)E和點(diǎn)F,則△CDF和△ABE即為所求相似三角形,且相似比為λ.
解答:解:(1)橢圓C2與C1相似. 因?yàn)闄E圓C2的特征三角形是腰長(zhǎng)為a=4,底邊長(zhǎng)為2c=的等腰三角形,
而橢圓C1的特征三角形是腰長(zhǎng)為2,底邊長(zhǎng)為的等腰三角形,因此兩個(gè)等腰三角形相似,且相似比為2.
(2)橢圓Cb的方程為:,
設(shè)lMN:y=-x+t,點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),MN中點(diǎn)為(x,y),
,所以5x2-8tx+4(t2-b2)=0,則
因?yàn)橹悬c(diǎn)在直線y=x+1上,所以有  ,即直線lMN的方程為:
由題意可知,直線lMN與橢圓Cb有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
即方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,
所以,即
(3)作法:過原點(diǎn)作直線y=kx(k≠1),交橢圓M和橢圓Mλ于點(diǎn)E和點(diǎn)F,則△CDF和△ABE即為所求相似三角形,且相似比為λ.
點(diǎn)評(píng):本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的性質(zhì),求直線MN的方程是解題的難點(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)定義:由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.如果兩個(gè)橢圓的“特征三角形”是相似的,則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比.已知橢圓C1
x2
4
+y2=1

(1)若橢圓C2
x2
16
+
y2
4
=1
,判斷C2與C1是否相似?如果相似,求出C2與C1的相似比;如果不相似,請(qǐng)說明理由;
(2)寫出與橢圓C1相似且短半軸長(zhǎng)為b的橢圓Cb的方程;若在橢圓Cb上存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱,求實(shí)數(shù)b的取值范圍?
(3)如圖:直線y=x與兩個(gè)“相似橢圓”M:
x2
a2
+
y2
b2
=1
Mλ
x2
a2
+
y2
b2
=λ2(a>b>0,0<λ<1)
分別交于點(diǎn)A,B和點(diǎn)C,D,試在橢圓M和橢圓Mλ上分別作出點(diǎn)E和點(diǎn)F(非橢圓頂點(diǎn)),使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個(gè)相似三角形,寫出具體作法.(不必證明)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•徐匯區(qū)三模)定義:由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.如果兩個(gè)橢圓的“特征三角形”是相似的,則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比.已知橢圓C1
x2
4
+y2=1

(1)若橢圓C2
x2
16
+
y2
4
=1
,判斷C2與C1是否相似?如果相似,求出C2與C1的相似比;如果不相似,請(qǐng)說明理由;
(2)寫出與橢圓C1相似且短半軸長(zhǎng)為b的橢圓Cb的方程;若在橢圓Cb上存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱,求實(shí)數(shù)b的取值范圍?
(3)如圖:直線l與兩個(gè)“相似橢圓”
x2
a2
+
y2
b2
=1
x2
a2
+
y2
b2
=λ2(a>b>0,0<λ<1)
分別交于點(diǎn)A,B和點(diǎn)C,D,證明:|AC|=|BD|

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆福建省高二上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 題型:解答題

(本小題滿分14分)定義:由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”。如果兩個(gè)橢圓的“特征三角形”是相似的,則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比。已知橢圓

 

 

(1)若橢圓,判斷是否相似?如果相似,求出的相似比;如果不相似,請(qǐng)說明理由;

(2)寫出與橢圓相似且短半軸長(zhǎng)為的橢圓的方程;若在橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱,求實(shí)數(shù)的取值范圍?

(3)如圖:直線與兩個(gè)“相似橢圓”分別交于點(diǎn)和點(diǎn),證明:

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年上海市徐匯區(qū)、金山區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

定義:由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.如果兩個(gè)橢圓的“特征三角形”是相似的,則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比.已知橢圓
(1)若橢圓,判斷C2與C1是否相似?如果相似,求出C2與C1的相似比;如果不相似,請(qǐng)說明理由;
(2)寫出與橢圓C1相似且短半軸長(zhǎng)為b的橢圓Cb的方程;若在橢圓Cb上存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱,求實(shí)數(shù)b的取值范圍?
(3)如圖:直線y=x與兩個(gè)“相似橢圓”分別交于點(diǎn)A,B和點(diǎn)C,D,試在橢圓M和橢圓Mλ上分別作出點(diǎn)E和點(diǎn)F(非橢圓頂點(diǎn)),使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個(gè)相似三角形,寫出具體作法.(不必證明)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案