Question

4．已知關(guān)于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0，滿足a≥0且b≥0．
（1）若a是從0、1、2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0、1兩個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．
（2）若a=1，b是從區(qū)間[0，3]任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．

Answer 1

分析 （1）是古典概型，可以列舉出所有的滿足條件的事件，根據(jù)古典概型概率公式得到結(jié)果．
（2）是幾何概型，求出方程有實(shí)根的等價(jià)條件，利用幾何概型的概率公式進(jìn)行求解．

解答 解：（1）設(shè)若a是從0、1、2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0、1兩個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，
則有3×2=6種結(jié)果，
事件A為“方程a²+2ax+b²=0有實(shí)根”．
若方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根，
則判別式△=4a²-4b²≥0，
即a²-b²≥0，
∵a≥0且b≥0．
∴等價(jià)為a≥b．
包含基本事件共5個(gè)：
（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），
其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值．
∴事件A發(fā)生的概率為P=$\frac{5}{6}$．
（2）若a=1，則方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根，
則判別式△=4-4b²≥0，即b²≤1，解得-1≤b≤1，
∵0≤b≤3，
∴0≤b≤1，
則對(duì)應(yīng)的概率P=$\frac{1-0}{3-0}=\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查概率的計(jì)算，要求熟練古典概型和幾何概型的概率的計(jì)算，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．