Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，其中a₁=25，前四項(xiàng)和S₄=82．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）令，①求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)之和T_n．②是不是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)，如果是，求出它是第幾項(xiàng)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得，，a₁=25
∴d=-3∴a_n=28-3n（3分）
（2）①由（1）可得，
∴（1分）

相減得（3分）
②令，解得2^n-2+3n-28=0．
令f（x）=2^x-2+3x-28，明顯f（x）在R上單調(diào)遞增．
f（5）=-5＜0，f（6）=6＞0，所以f（x）有唯一零點(diǎn)x₀∈（5，6），不是整數(shù)．
所以不是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)． （3分）
分析：（1）由等差數(shù)列的求和公式及已知a₁可求公差d，進(jìn)而可求通項(xiàng)公式
（2））①由（1）可得，，結(jié)合該數(shù)列的特點(diǎn)考慮利用錯(cuò)位相減求和
②令，可得2^n-2+3n-28=0．構(gòu)造函數(shù)f（x）=2^x-2+3x-28，結(jié)合函數(shù)f（x）在R上單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)是否存在正整數(shù)
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等差數(shù)列的求和公式及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，錯(cuò)位相減求和方法的應(yīng)用一直是數(shù)列求和中的考查熱點(diǎn)之一，而零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用更是加強(qiáng)的數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用．