Question

16．已知a＞0，設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=x²-2ax+1-2a在區(qū)間[0，1]上與x軸有兩個不同的交點；命題q：g（x）=|x-a|-ax有最小值．若（￢p）∧q是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由（￢p）∧q是真命題，得：p假且q真；分別求出命題p，q為真假是參數(shù)a的范圍，可得答案．

解答 解：若p真，則$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\ 0＜a＜1\\ f（0）≥0\\ f（1）≥0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}+2a-1＞0\\ 0＜a＜1\\ 1-2a≥0\\ 2-4a≥0\end{array}\right.$
∴$\sqrt{2}-1$＜a≤$\frac{1}{2}$．
若q真，g（x）=|x-a|-ax=$\left\{\begin{array}{l}（1-a）x-a，x≥a\\-（1+a）x+a，x＜a\end{array}\right.$，
∵a＞0，
∴-（1+a）＜0，
即g（x）在（-∞，a）單調(diào)遞減的，要使g（x）有最小值，則g（x）在[a，+∞）增或為常數(shù)，
即1-a≥0，
∴0＜a≤1，
若（￢p）∧q是真命題，則p為假命題且q為真命題，
∴$\left\{\begin{array}{l}0＜a≤\sqrt{2}-1，或a＞\frac{1}{2}\\ 0＜a≤1\end{array}\right.$
解得：a∈（0，$\sqrt{2}-1$]∪（$\frac{1}{2}$，1]．

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，函數(shù)的零點，函數(shù)的最值等知識點，難度中檔．