Question

14．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左右頂點為A₁，A₂，左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，P為雙曲線C上異于頂點的一動點，直線PA₁斜率為k₁，直線PA₂斜率為k₂，且k₁k₂=1，又△PF₁F₂內(nèi)切圓與x軸切于點（1，0），則雙曲線方程為（　�。�

• A． x²-y²=1
• B． x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• C． x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• D． x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 設(shè)點P是雙曲線右支上一點，按雙曲線的定義，|PF₁|-|PF₂|=2a，設(shè)三角形PF₁F₂的內(nèi)切圓心在橫軸上的投影為A（x，0），B、C分別為內(nèi)切圓與PF₁、PF₂的切點．由同一點向圓引得兩條切線相等知|PF₁|-|PF₂|=（PB+BF₁）-（PC+CF₂），由此得到△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)．即為a=1，再由直線的斜率公式和點P滿足雙曲線方程，化簡整理，即可得到b=1，進而得到雙曲線方程．

解答 解：設(shè)點P是雙曲線右支上一點，
∴按雙曲線的定義，|PF₁|-|PF₂|=2a，
若設(shè)三角形PF₁F₂的內(nèi)切圓心在橫軸上的投影為A（x，0），該點也是內(nèi)切圓與橫軸的切點．
設(shè)B、C分別為內(nèi)切圓與PF₁、PF₂的切點．考慮到同一點向圓引的兩條切線相等：
則有：PF₁-PF₂=（PB+BF₁）-（PC+CF₂）=BF₁-CF₂=AF₁-F₂A
=（c+x）-（c-x）=2x=2a，即x=a
所以內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為a．
由題意可得a=1，
頂點A₁（-1，0），A₂（1，0），
設(shè)P（m，n），則m²-$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，即n²=b²（m²-1），
k₁k₂=1，可得$\frac{n}{m+1}•\frac{n}{m-1}$=1，
即有$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-1}$=b²=1，
即有雙曲線的方程為x²-y²=1．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查定義法的運用，以及直線的斜率公式的運用，切線的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．