【題目】如圖,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC.
(1)求證:D1C⊥AC1
(2)設(shè)E是DC上一點(diǎn),試確定E的位置,使D1E∥平面A1BD,并說(shuō)明理由.

【答案】
(1)證明:在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,

連接C1D,∵DC=DD1,

∴四邊形DCC1D1是正方形.∴DC1⊥D1C.

又AD⊥DC,AD⊥DD1,DC⊥DD1=D,

∴AD⊥平面DCC1D1,D1C平面DCC1D1,

∴AD⊥D1C.∵AD,DC1平面ADC1,

且AD⊥DC=D,∴D1C⊥平面ADC1,

又AC1平面ADC1,∴D1C⊥AC1


(2)解:連接AD1,連接AE,

設(shè)AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,連接MN,∵平面AD1E∩平面A1BD=MN,

要使D1E∥平面A1BD,

須使MN∥D1E,

又M是AD1的中點(diǎn).∴N是AE的中點(diǎn).

又易知△ABN≌△EDN,∴AB=DE.

即E是DC的中點(diǎn).

綜上所述,當(dāng)E是DC的中點(diǎn)時(shí),可使D1E∥平面A1BD.


【解析】(1)要證D1C⊥AC1;需證D1C⊥平面ADC1即可(2)確定E的位置,使D1E∥平面A1BD,設(shè)AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,連接MN,證明MN∥D1E即可.
【考點(diǎn)精析】利用空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系和直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知直線(xiàn)在平面內(nèi)—有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn);直線(xiàn)與平面相交—有且只有一個(gè)公共點(diǎn);直線(xiàn)在平面平行—沒(méi)有公共點(diǎn);一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行,則過(guò)這條直線(xiàn)的任一平面與此平面的交線(xiàn)與該直線(xiàn)平行;簡(jiǎn)記為:線(xiàn)面平行則線(xiàn)線(xiàn)平行.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)設(shè)直線(xiàn)l:y=kx+1與曲線(xiàn)C交于M、N兩點(diǎn),當(dāng)線(xiàn)段MN的中點(diǎn)在直線(xiàn)x+2y=0上時(shí),求直線(xiàn)l的方程.

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質(zhì)量指標(biāo)值

等級(jí)

三等品

二等品

一等品

從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取200件,檢測(cè)后得到如下的頻率分布直方圖:

(1)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù) ,能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占全部產(chǎn)品90%”的規(guī)定?

(2)在樣本中,按產(chǎn)品等極用分層抽樣的方法抽取8件,再?gòu)倪@8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件,求抽取的4件產(chǎn)品中,一、二、三等品都有的概率;

(3)該企業(yè)為提高產(chǎn)品質(zhì)量,開(kāi)展了“質(zhì)量提升月”活動(dòng),活動(dòng)后再抽樣檢測(cè),產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值近似滿(mǎn)足,則“質(zhì)量提升月”活動(dòng)后的質(zhì)量指標(biāo)值的均值比活動(dòng)前大約提升了多少?

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(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)G(1,3)作兩條與圓C相切的直線(xiàn),切點(diǎn)分別為M,N,求直線(xiàn)MN的方程
(Ⅲ) 若與直線(xiàn)l1垂直的直線(xiàn)l與圓C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若∠POQ為鈍角,求直線(xiàn)l縱截距的取值范圍.

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分?jǐn)?shù)區(qū)間

甲班頻率

乙班頻率

[0,30)

0.1

0.2

[30,60)

0.2

0.2

[60,90)

0.3

0.3

[90,120)

0.2

0.2

[120,150)

0.2

0.1

(Ⅰ)若成績(jī)120分以上(含120分)為優(yōu)秀,求從乙班參加測(cè)試的90分以上(含90分)的同學(xué)中,隨機(jī)任取2名同學(xué),恰有1人為優(yōu)秀的概率;
(Ⅱ)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表:在犯錯(cuò)概率小于0.1的前提下,你是否有足夠的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)是否優(yōu)秀與班級(jí)有關(guān)系?

優(yōu)秀

不優(yōu)秀

總計(jì)

甲班

乙班

總計(jì)

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

P(K2≥k0

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

,其中n=a+b+c+d.

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