Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=5且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N⁺）
（1）求a₂，a₃的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{

an+λ

2n

}為等差數(shù)列，若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）由a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2）?a₂=2a₁+2²-1=13?a₂=13，
同理可得a₃=33，（3分）
（2）假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ符合題意，則

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必為與n無關(guān)的常數(shù)
∵

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=

an-2an-1-λ

2n

=

2n-1-λ

2n

=1-

1+λ

2n

（5分）
要使

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

是與n無關(guān)的常數(shù)，則

1+λ

2n

=0，得λ=-1
故存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ=-1，使得數(shù)列 {

an+λ

2n

}為等差數(shù)列（13分）