Question

（2013•濟(jì)寧二模）已知n∈N^*，數(shù)列{d_n}滿足dn=

3+(-1)n

2

，數(shù)列{a_n}滿足a_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2n；數(shù)列{b_n}為公比大于1的等比數(shù)列，且b₂，b₄為方程x²-20x+64=0的兩個(gè)不相等的實(shí)根．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）將數(shù)列{b_n}中的第a₁項(xiàng)，第a₂項(xiàng)，第a₃項(xiàng)，…，第a_n項(xiàng)，…刪去后剩余的項(xiàng)按從小到大的順序排成新數(shù)列{c_n}，求數(shù)列{c_n}的前2013項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)a_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2n直接得出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；利用b₂，b₄為方程x²-20x+64=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，列方程解得b₂=4，b₄=16，從而由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）由題知將數(shù)列{b_n}中的第3項(xiàng)、第6項(xiàng)、第9項(xiàng)…刪去后構(gòu)成的新數(shù)列{c_n}中的奇數(shù)列與偶數(shù)列仍成等比數(shù)列，求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求數(shù)列{c_n}的前2013項(xiàng)和即可．

解答：解：（Ⅰ）∵dn=

3+(-1)n

2

，
∴a_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2n=

3×2n

2

=3n…（3分）
因?yàn)閎₂，b₄為方程x²-20x+64=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
所以b₂+b₄=20，b₂•b₄=64…（4分）
解得：b₂=4，b₄=16，
所以：bn=2n…（6分）
（Ⅱ）由題知將數(shù)列{b_n}中的第3項(xiàng)、第6項(xiàng)、第9項(xiàng)…刪去后構(gòu)成的新數(shù)列{c_n}中的奇數(shù)列與偶數(shù)列仍成等比數(shù)列，
首項(xiàng)分別是b₁=2，b₂=4公比均是8，…（9分）
T₂₀₁₃=（c₁+c₃+c₅+…+c₂₀₁₃）+（c₂+c₄+c₆+…+c₂₀₁₂）
=

2×(1-81007)

1-8

+

4×(1-81006)

1-8

=

20×81006-6

7

…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用，一般數(shù)列的求和方法，屬基礎(chǔ)題．