分析:(1)由已知中正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中點(diǎn),AA1=AB=1,我們易根據(jù)正三角形的性質(zhì)及棱柱的幾何特征,得到AD⊥B1B,及AD⊥BD,結(jié)合線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理,即可得到平面AB1D⊥平面B1BCC1;
(2)連接A1B,交AB1于E,連DE,由矩形的性質(zhì)及三角形中位線定理,可得DE∥A1C,再由線面平行的判定定理,即可得到A1C∥平面AB1D;
(3)過D作DF⊥AB于F,過F作FG⊥AB1于G,連接DG.我們可以得到∠DGF為二面角B-AB1-D的平面角.解三角形DGF,即可求出二面角B-AB1-D的正切值.
解答:解:(1)證明:因?yàn)锽
1B⊥平面ABC,AD?平面ABC,
所以AD⊥B
1B(1分)
因?yàn)镈為正△ABC中BC的中點(diǎn),
所以AD⊥BD(2分)
又B
1B∩BC=B,
所以AD⊥平面B
1BCC
1(3分)
又AD?平面AB
1D,故平面AB
1D⊥平面B
1BCC
1(4分)
(2)連接A
1B,交AB
1于E,連DE(5分)
因?yàn)辄c(diǎn)E為矩形A
1ABB
1對角線的交點(diǎn),所以E為AB
1的中點(diǎn)(6分)
又D為BC的中點(diǎn),所以DE為△A
1BC的中位線,
所以DE∥A
1C(7分)
又DE?平面AB
1D,所以A
1C∥平面AB
1D(8分)
(3)過D作DF⊥AB于F,過F作FG⊥AB
1于G,連接DG.
因?yàn)槠矫鍭
1ABB
1⊥平面ABC,DF⊥AB,所以DF⊥平面A
1ABB
1.
又AB
1?平面A
1ABB
1,所以AB
1⊥DF.
又FG⊥AB
1,所以AB
1⊥平面DFG,所以AB
1⊥DG.(9分)
又AB
1⊥FG,所以∠DGF為二面角B-AB
1-D的平面角.(10分)
因?yàn)锳A
1=AB=1,
所以在正△ABC中,DF=
在△ABC中,F(xiàn)G=
BE=
(11分)
所以在Rt△DFG中,tan∠DFG=
=
(12分)
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定,用空間向量求平面的夾角,其中(3)中在求二面角的大小時(shí),找出二面角的平面角是最關(guān)鍵的步驟.