Question

已知拋物線y²=4ax（a＞0）的焦點(diǎn)為A，以B（a+4，0）為圓心，|AB|長(zhǎng)為半徑，在x軸上方的半圓交拋物線于不同的兩點(diǎn)M、N，P是MN的中點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求|AM|+|AN|的值；
（3）是否存在這樣的a值，使|AM|，|AP|，|AN|成等差數(shù)列？

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì),等差關(guān)系的確定

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先設(shè)M、N、P在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為M′，N′，P′，根據(jù)拋物線的定義可得到|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=x_M+x_N+2a，然后聯(lián)立拋物線與圓的方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式，可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求出兩根之和，即可得到|AM|+|AN|的值．
（3）先假設(shè)存在a滿足條件，根據(jù)2|AP|=|AM|+|AN|，再由|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=2|PP′|可得到|AP|=|PP′|，故可得到點(diǎn)P必在拋物線上，但與點(diǎn)P是弦MN的中點(diǎn)矛盾，可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)M、N、P在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為M′，N′，P′，由拋物線定義得：|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=x_M+x_N+2a，
又圓的方程為[x-（a+4）]²+y²=16，將y²=4ax代入得：x²-2（4-a）•x+a²+8a=0，
∴△=4（4-a）²-4（a²+8a）＞0，
∴a＜1；
（2）由（1）知，x_M+x_N=2（4-a），所以|AM|+|AN|=8．
（3）假設(shè)存在這樣的a，使得：2|AP|=|AM|+|AN|，
∵|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=2|PP′|，
∴|AP|=|PP′|．
由定義知點(diǎn)P必在拋物線上，這與點(diǎn)P是弦MN的中點(diǎn)矛盾，
所以這樣的a不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的基本性質(zhì)、等差關(guān)系的確定等，考查綜合運(yùn)用能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．