Question

已知，當(dāng)mn取得最小值時，直線與曲線交點個數(shù)為________．

Answer 1

2
分析：由均值不等式1=，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以m=2，n=4．故．①當(dāng)x＞0，y＞0，表示的橢圓；②當(dāng)x＞0，y＜0，表示以x軸為實軸的雙曲線；③當(dāng)x＜0，y＞0，表示以y軸為實軸的雙曲線；④當(dāng)x＜0，y＜0，表示，因為左邊恒≤0所以不可能=右邊，所以此時無解．作出圖象能得到結(jié)果．
解答：解：由均值不等式
1=，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
也就是，
所以m=2，n=4．
∵，
∴．
①當(dāng)x＞0，y＞0，
表示的橢圓；
②當(dāng)x＞0，y＜0，
表示以x軸為實軸的雙曲線；
③當(dāng)x＜0，y＞0，
表示以y軸為實軸的雙曲線；
④當(dāng)x＜0，y＜0，
表示，
因為左邊恒≤0所以不可能=右邊，
所以此時無解．
所以如圖得到圖象，
結(jié)合圖象知直線與曲線交點個數(shù)是2個．
故答案為：2．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，解題時要注意均值定理和分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的合理運用．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，常因分類不清易出錯，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．