Question

已知函數(shù)f（x）=（a＞0）．
（1）若曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，求函數(shù)y=f（x）的單調區(qū)間；
（2）記g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．當a=1時，函數(shù)g（x）在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個零點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：（I）由題意得，f（x）的定義域為（0，+∞），
∵f^′（x）=，∴f^′（1）=-2+a，
∵直線y=x+2的斜率為1，∴-2+a=-1，解得a=1，
所以f（x）=，∴f^′（x）=，
由f′（x）＞0解得x＞2；由f′（x）＜0解得0＜x＜2．
∴f（x）的單調增區(qū)間是（2，+∞），單調減區(qū)間是（0，2）
（II）依題得g（x）=，則=．
由g^′（x）＞0解得x＞1；由g^′（x）＜0解得0＜x＜1．
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）為減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）為增函數(shù)．
又∵函數(shù)g（x）在區(qū)間[，e]上有兩個零點，∴，
解得1＜b≤，∴b的取值范圍是（1，]．
分析：（I）先求出函數(shù)f（x）的定義域和導函數(shù)f′（x），再由f′（1）=-1求出a的值，代入f′（x），由f′（x）＞0和f′（x）＜0進行求解，即判斷出函數(shù)的單調區(qū)間；
（II）由（I）和題意求出g（x）的解析式，求出g′（x），由g′（x）＞0和g′（x）＜0進行求解，即判斷出函數(shù)的單調區(qū)間，再由條件和函數(shù)零點的幾何意義列出不等式組，求出b的范圍．
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性以及幾何意義、函數(shù)零點等基礎知識，注意求出函數(shù)的定義域，考查計算能力和分析問題的能力．