Question

已知點P（2，0）及圓C：x²+y²-6x+4y+4=0．
（Ⅰ）若直線l過點P且與圓心C的距離為1，求直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)過P直線l₁與圓C交于M、N兩點，當(dāng)|MN|=4時，求以MN為直徑的圓的方程；
（Ⅲ）設(shè)直線ax-y+1=0與圓C交于A，B兩點，是否存在實數(shù)a，使得過點P（2，0）的直線l₂垂直平分弦AB？若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)直線l的斜率為k（k存在）則方程為y-0=k（x-2）．
又圓C的圓心為（3，-2），半徑r=3，
由

|3k+2-2k|

k2+1

=1，解得k=-

3

4

．
所以直線方程為y=-

3

4

(x-2)，即3x+4y-6=0；
當(dāng)l的斜率不存在時，l的方程為x=2，經(jīng)驗證x=2也滿足條件；
（Ⅱ）由于|CP|=

5

，而弦心距d=

r2-( |MN| 2 )2

=

5

，
所以d=|CP|=

5

，所以P為MN的中點，
所以所求圓的圓心坐標(biāo)為（2，0），半徑為

1

2

|MN|=2，
故以MN為直徑的圓Q的方程為（x-2）²+y²=4；
（Ⅲ）把直線ax-y+1=0即y=ax+1．代入圓C的方程，消去y，整理得（a²+1）x²+6（a-1）x+9=0．
由于直線ax-y+1=0交圓C于A，B兩點，
故△=36（a-1）²-36（a²+1）＞0，即-2a＞0，解得a＜0．
則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）．
設(shè)符合條件的實數(shù)a存在，
由于l₂垂直平分弦AB，故圓心C（3，-2）必在l₂上．
所以l₂的斜率k_PC=-2，
而kAB=a=-

1

kPC

，
所以a=

1

2

．
由于

1

2

∉(-∞，0)，
故不存在實數(shù)a，使得過點P（2，0）的直線l₂垂直平分弦AB．