Question

函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

)的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設g(x)=[f(x-

π

12

)]2，求函數(shù)g（x）在x∈[-

π

6

，

π

3

]上的最大值，并確定此時x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圖讀出A，最高點到時左邊第一個零點的橫坐標的差的絕對值為四分之一周期，求出周期T，進而求出ω，代入點的坐標求出φ，得f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的解析式，把x-

π

12

代入求f（x-

π

12

），進而求出g（x），利用降冪公式得一個角一個三角函數(shù)值，由x的范圍，求出3x+

π

4

的范圍，借助余弦函數(shù)的圖象，求出cos（3x+

π

4

）的范圍，進一步求出最大值．

解答：解：（Ⅰ）由圖知A=2，

T

4

=

π

3

，則

2π

ω

=4×

π

3

∴ω=

3

2

∴f（x）=2sin（

3

2

x+φ），∴2sin（

3

2

×

π

6

+φ）=2，
∴sin（

π

4

+φ）=1，∴

π

4

+φ=

π

2

，∴φ=

π

4

，
∴f（x）的解析式為f(x)=2sin(

3

2

x+

π

4

)
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f(x-

π

12

)=2sin[

3

2

(x-

π

12

)+

π

4

]=2sin(

3

2

x+

π

8

)
∴g(x)=[f(x-

π

12

)]2=4×

1-cos(3x+ π 4 )

2

=2-2cos(3x+

π

4

)
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]∴-

π

4

＜3x+

π

4

＜

5π

4

∴當3x+

π

4

=π即x=

π

4

時，g（x）_max=4

點評：給出條件求y=Asin（ωx+φ）的解析式，條件不管以何種方式給出，一般先求A，再求ω，最后求φ；求三角函數(shù)最值時，一般要把式子化為y=Asin（ωx+φ）+B或y=Acos（ωx+φ）+B的形式，從x的范圍由里向外擴，一直擴到Asin（ωx+φ）+B或Acos（ωx+φ）+B的范圍，即函數(shù)f（x）的值域，數(shù)形結合，看ωx+φ為多少時，取得最值．用到轉化化歸的思想．