如圖，已知拋物線x2=4y，過拋物線上一點(diǎn)A（x1，y1）（不同于頂點(diǎn)）作拋物線的切線l，并交x軸于點(diǎn)C，在直線y=-1上任取一點(diǎn)H，過H作HD垂直x軸于D，并交l于點(diǎn)E，過H作直線HF垂直直線l，并交x軸于點(diǎn)F．
（I）求證：|OC|=|DF|；
（II）試判斷直線EF與拋物線的位置關(guān)系并說明理由．

【答案】分析：（I）先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出過拋物線上一點(diǎn)A（x1，y1）（不同于頂點(diǎn)）作拋物線的切線l的方程，令y=0即可得C點(diǎn)的坐標(biāo)，再由HF垂直直線l，寫出直線HF的方程，令y=0即可得F點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可證|OC|=|DF|
（II）先求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，由（I）知F的坐標(biāo)，從而寫出直線EF的方程，再與拋物線x2=4y聯(lián)立，證明△=0，即可證明直線EF與拋物線的位置關(guān)系為相切
解答：解：（I）∵∴∴
∴
∴
設(shè)H（a，-1）∴D（a，0）∴
∴
（II）∵，
∴
∴
由

∴直線EF與拋物線相切．
點(diǎn)評：本題考察了直線與拋物線的位置關(guān)系，特別注意當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，可利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，也可聯(lián)立通過判別式△解決問題
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•溫州一模）如圖，已知拋物線x2=4y，過拋物線上一點(diǎn)A（x1，y1）（不同于頂點(diǎn)）作拋物線的切線l，并交x軸于點(diǎn)C，在直線y=-1上任取一點(diǎn)H，過H作HD垂直x軸于D，并交l于點(diǎn)E，過H作直線HF垂直直線l，并交x軸于點(diǎn)F．
（I）求證：|OC|=|DF|；
（II）試判斷直線EF與拋物線的位置關(guān)系并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：重慶市2008屆六校高中三年級第一次聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)理科 題型：044

如圖，已知拋物線x2＝2px(p＞0)和直線y＝b(b＜0)，點(diǎn)P(t，b)在直線y＝b上移動，過點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，線段AB的中點(diǎn)為M

(1)求點(diǎn)M的軌跡；

(2)求線段AB長的最小值；

(3)求證直線PM的傾斜角為定植，并求的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：重慶市2008屆六校高中三年級第一次聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)文科 題型：044

如圖，已知拋物線x2＝2py(p＞0)和直線y＝b(b＜0)，點(diǎn)P(t，b)在直線y＝b上移動，過點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，線段AB的中點(diǎn)為M

(1)設(shè)A(x1，)，B(x2，)，分別用x1，x2表示切線PA，PB的斜率kPA，kPB；

(2)證明x1，x2為方程x2－2tx＋2pb＝0的兩根，并求線段AB長的最小值；

(3)求證直線PM的傾斜角為定植，并求PM長的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：浙江省寧波市鄞州區(qū)2012屆高三5月高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)文科試題 題型：044

如圖，已知拋物線x2＝4y，過拋物線上一點(diǎn)A(x1，y1)(不同于頂點(diǎn))作拋物線的切線l，并交x軸于點(diǎn)C，在直線y＝－1上任取一點(diǎn)H，過H作HD垂直x軸于點(diǎn)D，并交l于點(diǎn)E，過H作直線HT垂直于直線l，并交x軸于點(diǎn)T．

(1)求證：|OC|＝|DT|；

(2)試判斷直線ET與拋物線的位置關(guān)系并說明理由．

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