Question

16．已知橢圓C的中心在坐標原點，F（1，0）為橢圓C的一個焦點，點P（2，y₀）為橢圓C上一點，且|PF|=1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點M（0，1）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，且$\overrightarrow{AM}$=3$\overrightarrow{MB}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出P的坐標，可得a，b，即可求橢圓C的方程；
（2）分類討論，設直線l的方程為y=kx+1與橢圓C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1，聯立消去y得（3+4k²）x²+8kx-8=0，利用根與系數關系結合$\overrightarrow{AM}$=3$\overrightarrow{MB}$，由此能求出直線l的方程．

解答 解：（1）由題意得：F（1，0），|PF|=1
∴$1+{y_0}^2=1$，∴y₀=0
∴a=2，b²=3
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1．
（2）①當直線l的斜率不存在時，不合題意．
②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+1與橢圓C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1聯立，
消去y得（3+4k²）x²+8kx-8=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=-\frac{8k}{{3+4{k^2}}}$①，${x_1}{x_2}=-\frac{8}{{3+4{k^2}}}$②
∵$\overrightarrow{AM}$=3$\overrightarrow{MB}$，
∴x₁=-3x₂③
由①②③得${k^2}=\frac{3}{2}$，
∴$k=±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
∴直線l的方程為$y=\frac{{\sqrt{6}}}{2}x+1$或$y=-\frac{{\sqrt{6}}}{2}x+1$．

點評 本題考查用待定系數法求曲線方程的能力，通過處理直線與圓錐曲線的位置關系，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想，是壓軸題．