Question

設(shè)f（x）是定義在區(qū)間(1，+∞)上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），如果存在實數(shù)a和函數(shù)h（x），其中h（x）對任意的x∈(1，+∞)都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x²-ax+1），則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P（a），
(Ⅰ)設(shè)函數(shù)，其中b為實數(shù)，
(ⅰ)求證：函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P(b)；
(ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)已知函數(shù)g（x）具有性質(zhì)P(2)。給定x₁，x₂∈(1，+∞)，x₁＜x₂，設(shè)m為實數(shù)，α=mx₁+（1-m）x₂，β=（1-m）x₁+mx₂，且α＞1，β＞1，若|g(α) -g(β)|＜|g(x₁)-g(x₂)|，求m的取值范圍。

Answer 1

解：(Ⅰ)(ⅰ)由，得，
因為x＞1時，，
所以函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b)．
(ⅱ)當b≤2時，由x＞1得x²-bx+1≥x²-2x+1=(x-1)²＞0，
所以f′(x)＞0，從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞增；
當b＞2時，解方程x²-bx+1=0得，
因為，，
所以當x∈(1，x₂)時，f′(x)＜0；當x∈(x₂，+∞)時，f′(x)＞0；當x=x₂時，f′(x)=0，
從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，x₂)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(x₂，+∞)上單調(diào)遞增；
綜上所述，當b≤2時，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，+∞)；
當b＞2時，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為。
(Ⅱ)由題設(shè)知，g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)=h(x)(x²-2x+1)，其中函數(shù)h(x)＞0對于任意的x∈(1，+∞)都成立，
所以，當x＞1時，g′(x)=h(x)(x-1)²＞0，
從而g(x)在區(qū)間(1，+∞) 上單調(diào)遞增．
①當m∈(0，1)時，有α=mx₁+（1-m）x₂＞ mx₁+（1-m）x₁=x₁，
α＜mx₂+(1-m)x₂=x₂，得α∈（x₁，x₂），同理可得β∈(x₁，x₂)，
所以由g(x)的單調(diào)性知g(α)，g(β)∈(g(x₁)，g(x₂))，
從而有|g(α)-g(β)|＜|g(x₁)-g(x₂)|，符合題設(shè)；
②當m≤0時，α=mx₁+（1-m）x₂≥mx₂+（1-m）x₂=x₂，β=(1-m)x₁+mx₂≤（1-m)x₁+mx₁=x₁，
于是由α＞1，β＞1及g(x)的單調(diào)性知g(β)≤g(x₁)＜g(x₂)≤g(α)，
所以|g(α)-g(β)|≥|g(x₁)-g(x₂)|，與題設(shè)不符；
③當m≥1時，同理可得α≤x₁，β≥x₂，進而得|g(α)-g(β)|≥|g(x₁)-g(x₂)|，與題設(shè)不符；
因此，綜合①②③得所求的m的取值范圍為(0，1)。