Question

長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是側(cè)棱BB₁的中點(diǎn)．
（1）求證：直線AE⊥平面A₁D₁E；
（2）求三棱錐A-A₁D₁E的體積；
（3）求異面直線A₁E與AD₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是側(cè)棱BB₁的中點(diǎn)，結(jié)合長方體的幾何特征，我們可得AE⊥A₁E，AE⊥A₁D₁，結(jié)合線面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面A₁D₁E；
（2）由（1）的結(jié)論，我們可得AE即為三棱錐A-A₁D₁E的高，根據(jù)已知求出三棱錐的底面積，代入棱錐體積公式，即可求出三棱錐A-A₁D₁E的體積；
（3）取CC₁的中點(diǎn)F，連接D₁F，則可得∠AD₁F即為求異面直線A₁E與AD₁所成角，在△AD₁F中，可求得結(jié)論．

解答：（1）證明：∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是側(cè)棱BB₁的中點(diǎn)
∴AE=A₁E=

2

，AA₁=2，
∴AA₁²=AE²+A₁E²
∴AE⊥A₁E
又∵D₁A₁⊥平面A₁EA，AE?平面A₁EA
∴AE⊥A₁D₁，又D₁A₁∩A₁E=A₁，
∴AE⊥平面A₁D₁E；
（2）解：由（1）中AE⊥平面A₁D₁E，
∴V_A-A1D1E=

1

3

•S_△A1D1E•AE=

1

3

×

1

2

×1×

2

×

2

=

1

3

（3）解：取CC₁的中點(diǎn)F，連接D₁F，

則A₁E∥D₁F，所以∠AD₁F即為求異面直線A₁E與AD₁所成角．
∵AB=BC=1，AA₁=2，∴D1F=

2

，AF=

3

，AD1=

5

∵D1F2+AF2=AD12
∴D₁F⊥AF
在△AD₁F中，可求得tan∠AD₁F=

3

2

=

6

2

∴∠AD₁F=arctan

6

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間角，體積的計(jì)算，線面垂直，考查了空間想象能力、計(jì)算能力，屬于中檔題．