Question

已知f(x)=

1

3

x3-x2+ax+1，a∈R
（1）當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）是增函數(shù)，求a范圍
（2）當(dāng)a=-3時，求f（x）在[0，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈[0，2]時，f′（x）≥0恒成立．
（2）求出極值、端點值，其中最大者為最大值，最小者為最小值．

解答：（1）f′（x）=x²-2x+a=（x-1）²+a-1，其圖象的對稱軸為x=1，
所以f′（x）在x∈[0，2]上最小值為a-1，
 又f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，∴f′（x）≥0恒成立，∴a-1≥0，即a≥1．
故a的取值范圍是[1，+∞）．
（2）當(dāng)a=-3時，f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
∴當(dāng)x∈[0，3）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當(dāng)x∈（3，4]時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
∴f（x）有唯一極小值點是 x=3，f（3）=-8，又f（0）=1，f（4）=-

17

3

，
所以f（x）的最大值是1，最小值是-8．

點評：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，對于三次函數(shù)的有關(guān)問題常用導(dǎo)數(shù)解決．