Question

（14分）如圖所示，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，PA＝AD＝a．

（1）求證：MN∥平面PAD；

（2）求證：平面PMC⊥平面PCD．

 

Answer 1

【答案】

見(jiàn)解析。

【解析】

試題分析：證明：如答圖所示

⑴設(shè)PD的中點(diǎn)為E，連結(jié)AE、NE，

由N為PD的中點(diǎn)知ENDC，

又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB

又M是AB的中點(diǎn)，∴ENAN，

∴AMNE是平行四邊形

∴MN∥AE，而AE平面PAD，NM平面PAD

∴MN∥平面PAD

證明：⑵∵PA＝AD，∴AE⊥PD，

又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥AE， ∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD，

∵M(jìn)N∥AE，∴MN⊥平面PCD，

又MN平面PMC，

∴平面PMC⊥平面PCD.

考點(diǎn)：本題主要考查四棱錐的特征、點(diǎn)線(xiàn)面關(guān)系重大平行與垂直，考查空間想象能力及邏輯推理論證能力。

點(diǎn)評(píng)：證明空間問(wèn)題注意轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題，充分利用平面圖形的特征，這是立體幾何中的基本問(wèn)題。