已知頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合與在第一和第四象限的交點(diǎn)分別為.
（1）若△AOB是邊長為的正三角形，求拋物線的方程；
（2）若，求橢圓的離心率；
（3）點(diǎn)為橢圓上的任一點(diǎn)，若直線、分別與軸交于點(diǎn)和，證明：．
（1）；（2）；（3）證明過程詳見試題解析.

試題分析：（1）由△AOB是邊長為的正三角形得到,代入拋物線方程中，可以得到所求拋物線方程為；（2）由可知點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，因此可結(jié)合建立關(guān)于的方程為：，解出；（3）利用設(shè)而不求的思想，可先設(shè)三點(diǎn)后代入橢圓方程中，由于的方程為，求出，，那么化簡后得到：.
試題解析：（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，依題意得拋物線的方程為 
∵△是邊長為的正三角形，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，
代入拋物線的方程解得，
故所求拋物線的方程為
（2）∵, ∴ 點(diǎn)的橫坐標(biāo)是
代入橢圓方程解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)是
∵ 點(diǎn)在拋物線上，
∴，
將代入上式整理得：，
即，解得
∵ ，故所求橢圓的離心率.
（3）證明：設(shè)，代入橢圓方程得

而直線的方程為
令得.
在中，以代換得
∴  .
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓＋y2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.
(1)求k的取值范圍；
(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量＋與共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

(13分)已知圓O：x2＋y2＝3的半徑等于橢圓E：＝1(a>b>0)的短半軸長，橢圓E的右焦點(diǎn)F在圓O內(nèi)，且到直線l：y＝x－的距離為－，點(diǎn)M是直線l與圓O的公共點(diǎn)，設(shè)直線l交橢圓E于不同的兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)求橢圓E的方程；
(2)求證：|AF|－|BF|＝|BM|－|AM|.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，設(shè)橢圓：的離心率，頂點(diǎn)的距離為,為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的射線，與橢圓分別交于兩點(diǎn).
（�。┰嚺袛帱c(diǎn)到直線的距離是否為定值.若是請求出這個(gè)定值，若不是請說明理由；
（ⅱ）求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

過橢圓右焦點(diǎn)且斜率為1的直線被橢圓截得的弦MN的長為（   ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為,且它的長軸長等于圓C:x2+y2-2x-15=0的半徑,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)
A．+=1B．+=1
C．+y2=1D．+=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

過橢圓＝1上一點(diǎn)M作圓x2＋y2＝2的兩條切線，點(diǎn)A，B為切點(diǎn)．過A，B的直線l與x軸、y軸分別交于P，Q兩點(diǎn)，則△POQ的面積的最小值為(　　)
A．B．C．1D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若雙曲線＝1(a>0，b>0)與橢圓＝1(m>b>0)的離心率之積大于1，則以a，b，m為邊長的三角形一定是(　　)
A．等腰三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

P是橢圓＝1上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，有一動點(diǎn)Q滿足＝＋，則動點(diǎn)Q的軌跡方程是________．

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