Question

一剪刀剪出一條正弦曲線.

把一張紙卷到圓柱形的紙筒面上，卷上幾圈.用剪刀斜著將紙筒剪斷，再把卷著的紙展開，你就會看到：紙的邊緣線是一條波浪形的曲線.

    你知道嗎？這條曲線就是正弦曲線！請你來證明這一事實.

Answer 1

證明：如圖(1)，設紙筒底面半徑為1單位長，截面(橢圓面)與底面所成的二面角為θ(定值)，截口的中心為O′.

(1)

過O′作圓柱的直截面，交截口曲線于兩點.取其中一點為O，在過點O且與圓柱側面相切的平面內，以點O為坐標原點建立直角坐標系，使得Oy軸是圓柱的一條母線.

設點P是截口曲線上任意一點，點Q是點P在⊙O′所在平面內的射影，過Q作QH⊥O′O，垂足為H，連結PH，則∠PHQ是截面與底面所成二面角的平面角，所以∠PHQ=θ.又設∠QO′O=α(變量).

在圖(2)中，設P點坐標為(x，y)，以下分別計算P點的橫坐標和縱坐標.

(2)

x=OQ′==α，y=Q′P=QP=QH·tanθ，

而在Rt△QHQ′中，QH=sinα，所以y=tanθ·sinα.

令A=tanθ(定值)，則有y=Asinα.

這就證明了截口曲線是一條正弦曲線.