Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n．已知a₁=6，a_n+1=3S_n+5ⁿ，n∈N^*．
（1）設(shè)b_n=S_n-5ⁿ，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{b_n}中是否存在不同的三項(xiàng)，它們構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用a_n+1=S_n+1-S_n，且an+1=3Sn+5n，可得Sn+1=4Sn+5n，把Sn=bn+5n代入，可得數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為b₁=S₁-5=1，公比為4的等比數(shù)列，即可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）假設(shè)數(shù)列{b_n}中存在任意三項(xiàng)a_i，a_j，a_k成等差數(shù)列，利用數(shù)列{b_n}單調(diào)遞增，建立等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：因?yàn)閍_n+1=S_n+1-S_n，且an+1=3Sn+5n，所以Sn+1=4Sn+5n，…（2分）
把Sn=bn+5n代入得b_n+1=4b_n，…（3分）
所以數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為b₁=S₁-5=1，公比為4的等比數(shù)列，所以bn=4n-1．…（5分）
（2）假設(shè)數(shù)列{b_n}中存在任意三項(xiàng)a_i，a_j，a_k成等差數(shù)列．…（6分）
不妨設(shè)i＞j＞k≥1，由于數(shù)列{b_n}單調(diào)遞增，所以2a_j=a_i+a_k，所以2•4^j-1=4^i-1+4^k-1，…（9分）
因此2•4^i-k=4^j-k+1，此時(shí)左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不可能成立，…（13分）
所以數(shù)列{b_n}中不存在不同的三項(xiàng)，它們構(gòu)成等差數(shù)列．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．