Question

已知sinα=

4

5

，α∈(0，π)，cosβ=-

5

13

，β是第三象限角，求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，分情況討論：①當(dāng)α∈[

π

2

，π）時，根據(jù)sinα=

4

5

，求得 cosα 的值．又由cosβ=-

5

13

，β是第三象限角，求得sinβ 的值，由cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ求的結(jié)果．②當(dāng)α∈（0，

π

2

）時，同理求的cos（α-β ）的值．

解答：解：①當(dāng)α∈[

π

2

，π）時，且sinα=

4

5

，得cosα=-

1-sin2a

=-

1-( 4 5 )2

=-

3

5

，
又由cosβ=-

5

13

，β是第三象限角，得sinβ=-

1-cos2β

=-

1-(- 5 13 )2

=-

12

13

．
所以cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=(-

3

5

)×(-

5

13

)+

4

5

×(-

12

13

)=-

33

65．

．
②當(dāng)α∈（0，

π

2

）時，且sinα=

4

5

，得cosα=

1-sin2a

=

1-( 4 5 )2

=

3

5

，
又由cosβ=-

5

13

，β是第三象限角，得sinβ=-

1-cos2β

=-

1-(- 5 13 )2

=-

12

13

．
所以cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=

3

5

×(-

5

13

)+

4

5

×(-

12

13

)=-

63

65

．

點評：本題考查兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，分類討論 是解題的關(guān)鍵．