Question

已知函數f（x）=2^x+1定義在R上．
（1）若f（x）可以表示為一個偶函數g（x）與一個奇函數h（x）之和，設h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh（x）+m²-m-1（m∈R），求出p（t）的解析式；
（2）若p（t）≥m²-m-1對于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范圍；
（3）若方程p（p（t））=0無實根，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用f（x）=g（x）+h（x）和f（-x）=g（-x）+h（-x）求出g（x）和h（x）的表達式，再求出p（t）關于t的表達式即可．
（2）先有x∈[1，2]找出t的范圍，在把所求問題轉化為求p（t）在[，]的最小值．讓大于等于m²-m-1即可．
（3）轉化為關于p（t）的一元二次方程，利用判別式的取值，再分別討論即可．
解答：解：（1）假設f（x）=g（x）+h（x）①，其中g（x）偶函數，h（x）為奇函數，
則有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x）②，
由①②解得，．
∵f（x）定義在R上，∴g（x），h（x）都定義在R上．
∵，．
∴g（x）是偶函數，h（x）是奇函數，∵f（x）=2^x+1，
∴，．
由，則t∈R，
平方得，∴，
∴p（t）=t²+2mt+m²-m+1．
（2）∵t=h（x）關于x∈[1，2]單調遞增，∴．
∴p（t）=t²+2mt+m²-m+1≥m²-m-1對于恒成立，
∴對于恒成立，
令，則，
∵，∴，故在上單調遞減，
∴，∴為m的取值范圍．
（3）由（1）得p（p（t））=[p（t）]²+2mp（t）+m²-m+1，
若p（p（t））=0無實根，即[p（t）]²+2mp（t）+m²-m+1①無實根，
方程①的判別式△=4m²-4（m²-m+1）=4（m-1）．
1°當方程①的判別式△＜0，即m＜1時，方程①無實根．
2°當方程①的判別式△≥0，即m≥1時，
方程①有兩個實根，
即②，
只要方程②無實根，故其判別式，
即得③，且④，
∵m≥1，③恒成立，由④解得m＜2，∴③④同時成立得1≤m＜2．
綜上，m的取值范圍為m＜2．
點評：本題是在考查指數函數的基礎上對函數的恒成立問題，函數奇偶性以及一元二次方程根的判斷的綜合考查，是一道綜合性很強的難題．