Question

【題目】已知函數(shù)（, 是自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析: （Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),將代入可得在此切點(diǎn)處的斜率,再由曲線方程可求出切點(diǎn)坐標(biāo),利用點(diǎn)斜式式寫出切線方程; （Ⅱ）求出的導(dǎo)函數(shù)函數(shù),令為,再求的導(dǎo)函數(shù),去判斷的單調(diào)性,再進(jìn)一步判斷的單調(diào)性,可求出的最小值,將恒成立問題轉(zhuǎn)為關(guān)于的不等式即可.注意對的分類討論.

試題解析:（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，有，

則．

又因?yàn)?/span>，

∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，令

有（）且函數(shù)在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則

（ⅰ）若即時(shí)，有函數(shù)在上單調(diào)遞增，

則恒成立；

（ⅱ）若即時(shí)，則在存在，

此時(shí)函數(shù)在 上單調(diào)遞減， 上單調(diào)遞增且，

所以不等式不可能恒成立，故不符合題意；

當(dāng)時(shí)，有，則在存在，此時(shí)上單調(diào)遞減， 上單調(diào)遞增所以函數(shù)在上先減后增．

又，則函數(shù)在上先減后增且．

所以不等式不可能恒成立，故不符合題意；

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．